দুটি ম্যাট্রিক্স A এবং B দেয়া আছে। AB ও BA এর মধ্যে কোন সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় কর। B^-1 কে x ও A এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

$A = \left [ \begin{matrix} 3 x & - 4 x & 2 x \\ - 2 x & x & 0 \\ - x & - x & x \end{matrix} \right ]$

এবং 

$B = \left [ \begin{matrix} x & 2 x & - 2 x \\ 2 x & 5 x & - 4 x \\ 3 x & 7 x & - 5 x \end{matrix} \right ]$

$\begin{array}{l}\text { } \mathrm{AB}=\left[\begin{array}{ccc}3 \mathrm{x} & -4 \mathrm{x} & 2 \mathrm{x} \\ -2 \mathrm{x} & \mathrm{x} & 0 \\ -\mathrm{x} & -\mathrm{x} & \mathrm{x}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{x} & 2 \mathrm{x} & -2 \mathrm{x} \\ 2 \mathrm{x} & 5 \mathrm{x} & -4 \mathrm{x} \\ 3 \mathrm{x} & 7 \mathrm{x} & -5 \mathrm{x}\end{array}\right] \\ =\mathrm{x}\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right] \cdot \mathrm{x}\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5\end{array}\right]=\mathrm{x}^{2}\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{x}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mathrm{x}^{2}\end{array}\right] \\ \text { অনুরূপভাবে, } \mathrm{BA}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{x}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mathrm{x}^{2}\end{array}\right] \therefore \mathrm{AB}=\mathrm{BA} \\ \therefore \mathrm{BA}=\mathrm{x}^{2} \mathrm{I} \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{x}^{2}} \mathrm{~A}=\mathrm{B}^{-1} \mathrm{I} \Rightarrow \mathrm{B}^{-1}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}^{2}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{\mathrm{x}} & -\frac{4}{\mathrm{x}} & \frac{2}{\mathrm{x}} \\ -\frac{2}{\mathrm{x}} & \frac{1}{\mathrm{x}} & 0 \\ -\frac{1}{\mathrm{x}} & -\frac{1}{\mathrm{x}} & \frac{1}{\mathrm{x}}\end{array}\right] \\ \therefore \mathrm{B}^{-1}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}^{2}}\end{array}$