যদি $ax^2+2cx+b=0$ এবং $ax^2+2bx+c=0,(b\neq0)$ সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল থাকে, তবে $a+4b+4c$ এর মান কত?

ধরি, সাধারণ মূলটি হলো $\alpha$ । তাহলে এটি উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করবে:

প্রথম সমীকরণে $x=\alpha$ বসিয়ে পাই:

$a \alpha^{2}+2 c \alpha+b=0$

দ্বিতীয় সমীকরণে $x=\alpha$ বসিয়ে পাই:

$a \alpha^{2}+2 b \alpha+c=0$

এখন, সমীকরণ (1) এবং (2) বিয়োগ করলে:

$\begin{array}{c} \left(a \alpha^{2}+2 c \alpha+b\right)-\left(a \alpha^{2}+2 b \alpha+c\right)=0 \\ 2 c \alpha+b-2 b \alpha-c=0 \\ (2 c-2 b) \alpha+(b-c)=0 \\ 2(c-b) \alpha+(b-c)=0 \\ -2(b-c) \alpha+(b-c)=0 \\ (b-c)(-2 \alpha+1)=0 \end{array}$

যেহেতু $b \neq c$ (প্রেশ্নে দেওয়া আছে), তাই:

$-2 \alpha+1=0 \Longrightarrow \alpha=\frac{1}{2}$

এখন, $\alpha=\frac{1}{2}$ কে সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই:

$\begin{array}{c} a\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2 c\left(\frac{1}{2}\right)+b=0 \\ \frac{a}{4}+c+b=0 \\ a+4 b+4 c=0 \end{array}$