$a \cos \theta+b \sin \theta=\mathrm{c}$ সমীকরণটি $\theta$ এর দুইটি ভিন্ন মান $\alpha, \beta$ দ্বারা সিদ্ধ হলে , $\sin (\alpha+\beta)=?$

Solve: $\cos \theta+\mathrm{b} \sin \theta=\mathrm{c}$ সমীকরণটি $\theta$ এর দুইটি ভিন্ন মান $\alpha \ll \beta$ দ্বারা সিদ্ধ বলে, $a \cos \alpha+b \sin \alpha=c$এবং $a \cos \beta+b \sin \beta=c$

$\begin{array}{l} \therefore \quad a \cos \alpha+b \sin \alpha=a \cos \beta+b \sin \beta \\ \Rightarrow \quad a(\cos \alpha-\cos \beta)=b(\sin \beta-\sin \alpha) \\ \Rightarrow a \cdot 2 \sin \frac{1}{2}(\alpha+\beta) \sin \frac{1}{2}(\beta-\alpha) \\ =b \cdot 2 \cos \frac{1}{2}(\alpha+\beta) \sin \frac{1}{2}(\beta-\alpha) \\ \alpha \neq \beta \text { } \sin \frac{1}{2}(\beta-\alpha) \neq 0 \\ \therefore a \sin \frac{1}{2}(\alpha+\beta)=b \cos \frac{1}{2}(\alpha+\beta) \\ \Rightarrow \tan \frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{b}{a} \end{array}$

এখন, $\sin (\alpha+\beta)=\sin 2 \cdot \frac{1}{2}(\alpha+\beta)$

$\begin{array}{l} =\frac{2 \tan \frac{1}{2}(\alpha+\beta)}{1+\tan ^{2} \frac{1}{2}(\alpha+\beta)}=-\frac{2 \frac{b}{a}}{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}} \\ =\frac{2 b}{a} \times \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} \end{array}$