a. $\int \frac{d x}{a \cos x-b \sin x}=$ ?

b. $\int \cos x \frac{d x}{(1+\sin x)(2+\sin x)}=$ ?

a. Solution:

আমরা প্রদত্ত অন্তর্গতটি সমাধান করতে পারি পদার্থ পরিবর্তন দ্বারা। চলকগুলি পদার্থের ক্ষেত্রে, চলক পরিবর্তন করতে,

$a \cos x - b \sin x = t$।

এই ভাবে, আপনি পাইয়েন :

$-a \sin x - b \cos x = \frac{dt}{dx}$

অতএব,

$\int \frac{dx}{a \cos x - b \sin x} = \int \frac{dx \cdot \frac{dt}{dt}}{t}$

এতে, $dx = \frac{-dt}{a \sin x + b \cos x}$

ফলে ,

$\int \frac{dx}{a \cos x - b \sin x} = \int \frac{-dt}{t(-a \sin x - b \cos x)}$

$= \frac{-1}{b}\ln|t| + C$

$= \frac{-1}{b}\ln|a \cos x - b \sin x| + C$

b. Solution:

আমরা উপযুক্ত পদার্থে প্রতিস্থাপন করতে চেষ্টা করবো।

$I = \int \cos x \frac{d x}{(1+\sin x)(2+\sin x)}$

উল্লেখ্য যে $d(1+\sin x) = \cos x dx$, তদন্ত জন্য আমরা ব্যবহার করবো $z=1+\sin x$, যা অনুযায়ী $\cos x dx = dz$। এটি অন্তর্ভুক্ত করে:

$I = \int \frac{dz}{z(z+1)}$

যা মামলা হাতে $\text{Partial Fraction Decomposition}$ দিয়ে নিরূপণ করবে:

$\frac{1}{z(z+1)} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z+1}$

চলতি মানে প্রতিস্থাপন করে

$1 = A(z+1) + Bz$

সম্পর্ক সহজে $A = 1$ এবং $B = -1$

এটি অন্তর্গত করে পুনরায় সংমিশ্রণ করা হবে :

$I = \int \left(\frac{1}{z} - \frac{1}{z+1}\right) dz$

$= \ln|z| - \ln|z+1| + C$

$= \ln \left| \frac{z}{z+1} \right| + C$

$= \ln \left| \frac{1+\sin x}{2+\sin x} \right| + C$