A(5, 3), B(2,0) এবং C(1, 1) বিন্দু তিনটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে বৃত্তের কেন্দ্র ও ত্রিভুজ ABC এর ভরকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

বৃত্তের কেন্দ্র $\mathrm{O}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right)$ হলে, $\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \Rightarrow \sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-5\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-3\right)^{2}}=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-1\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-1\right)^{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}-10 \mathrm{x}_{1}-6 \mathrm{y}_{1}+34=\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}-2 \mathrm{x}_{1}-2 \mathrm{y}_{1}+2 \\ \Rightarrow-8 \mathrm{x}_{1}-4 \mathrm{y}_{1}+32=0 \Rightarrow 2 \mathrm{x}_{1}+\mathrm{y}_{1}-8=0 \ldots \ldots \ldots \text { (i) } \end{array}$

এবং $\mathrm{OA}=\mathrm{OB} \Rightarrow \sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-5\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-3\right)^{2}}=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}+2\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-0\right)^{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}-10 \mathrm{x}_{1}-6 \mathrm{y}_{1}+34=\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}+4 \mathrm{x}_{1}+4$

$\Rightarrow-14 \mathrm{x}_{1}-6 \mathrm{y}_{1}+30=0 \Rightarrow 7 \mathrm{x}_{1}+3 \mathrm{y}_{1}-15=0$

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ সমাধান করে পাই, $\mathrm{x}_{1}=-9 ; \mathrm{y}_{1}=26$

এখন $\triangle \mathrm{ABC}$ এর ভরকেন্দ্র $0\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ হনে $\mathrm{x}_{2}=\frac{5+1-2}{3} ; \mathrm{y}_{2}=\frac{3+1+0}{3} \therefore \mathrm{D} \equiv\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$

সুত্তাং মধ্যবর্তী দূরত্ব $\mathrm{OD}=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(-9-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(26-\frac{4}{3}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\frac{961}{9}+\frac{5476}{9}}=\frac{\sqrt{6437}}{3}=26.74$