$a\cos{\theta}+b\sin{\theta}=c$ সমীকরণের বাস্তব সমাধান থাকলে $c=?$

 $a\ \cos\theta\ +b\ \sin\theta\ =\ c$

$\Rightarrow a\ \cos\theta=\ c\ -b\ \sin\theta$

$\Rightarrow a^2\ \cos^2\theta\ =\ c^{2\ }-2bc\ \sin\theta\ +b^2\ \sin^2\theta$

$\Rightarrow\Rightarrow a^2\ \left(1-\sin^2\theta\ \right)=\ c^{2\ }-2bc\ \sin\theta\ +b^2\ \sin^2\theta$

$\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\sin^2\theta\ -\ 2bc\ \sin\theta\ +\left(c^2\ -a^2\ \right)$

বাস্তব মান থাকলে, $\left(2bc\right)^2-4\left(a^2+b^2\right).\left(c^2-a^2\right)\ge0$

$\Rightarrow b^2c^2\ge qa^2c^2-a^4+b^2c^2-b^2a^2$ 

$c^2\le a^2+b^2\therefore |c|\le\sqrt{a^2+b^2}$