অসীম ধারা, অভিসৃতি এবং আংশিক ভগ্নাংশ সংক্রান্ত বিস্তৃতি

If ; $\displaystyle \left ( 1+x+x^{2} \right )^{25}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdot \cdot \cdot +a_{50}\cdot x^{50}$ then& ; $\displaystyle a_{0}+a_{2}+a_{4}+\cdot \cdot \cdot +a_{50}$ is

হানি নাটস

$(1+x+x^{2})^{25}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...a_{50}x^{50}$

Substituting $x=1$ , we get

$3^{25}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...a_{50}$ ...(i)

Substituting $x=-1$ we get

$1=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}...+a_{50}$ ...(ii)

Adding $i$ and $ii$ , we get

$3^{25}+1=2[a_{0}+a_{2}+a_{4}+...a_{50}]$

Hence

$a_{0}+a_{2}+a_{4}+...a_{50}=\dfrac{3^{25}+1}{2}$

Since the LHS is a positive integer hence the RHS has to be a positive integer.

Therefore

$3^{25}+1$ will be divisible by $2$ .

Hence

$3^{25}+1$ will be even.

And

$3^{2n+1}+1$ is always even and is divisible by $4$ .

Hence

$\dfrac{3^{25}+1}{2}$ will be even.

অসীম ধারা, অভিসৃতি এবং আংশিক ভগ্নাংশ সংক্রান্ত বিস্তৃতি টপিকের ওপরে পরীক্ষা দাও

এখনো না বুঝতে পারলে ডাউটস এ পোস্ট করো

পোস্ট করো

Related question

If ${ S }_{ n }=1+q+{ q }^{ 2 }+{ q }^{ 3 }+...+{ q }^{ n }$ and $\displaystyle { S' }_{ n }=1+\left( \frac { q+1 }{ 2 } \right) +{ \left( \frac { q+1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }+...+{ \left( \frac { q+1 }{ 2 } \right) }^{ n },q\neq 1$ then $^{ n+1 }{ { C }_{ 1 } }+^{ n+1 }{ { C }_{ 2 } }.{ S }_{ 1 }+^{ n+1 }{ { C }_{ 3 } }.{ S }_{ 2 }+...+^{ n+1 }{ { C }_{ n+1 } }.{ S }_{ n }=$

নিম্নের অসীম ধারাটির যোগফল নির্ণয় কর।

$\frac{1}{1 !}+\frac{5}{2 !}+\frac{9}{3 !}+\frac{13}{4 !}+\cdots$

(5x^2-4)/(x^2(x-2)) এর আংশিক ভগ্নাংশ কোনটি ?

$y=3 x+6 x^{2}+10 x^{3}+\ldots \infty$ হলে দেখাও যে, $x=\frac{1}{3} y-\frac{1}{3^{2}} \cdot \frac{4}{2 !} y^{2}+\frac{1.4 .7}{3^{3} \cdot 3 !} y^{3}-\ldots \ldots \ldots$