k এর মান কত হলে 2y - 4x - k = 0 রেখাটি y²=10x  পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে?

যখন $2y - 4x - k = 0$ রেখাটি $y^2=10x$ পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে, তখন রেখাটি এবং পরাবৃত্তের একটি মাত্র বিন্দুতে ছেদন থাকবে।

রেখার সমীকরণ হচ্ছে $y = 2x + \frac{k}{2}$

এখন, এই রেখাটিকে $y^2 = 10x$ পরাবৃত্তের সাথে সমাধান করতে গেলে:

$(2x + \frac{k}{2})^2 = 10x$

অথবা, $4x^2 + 2kx + \frac{k^2}{4} = 10x$

বা, $4x^2 + 2kx - 10x + \frac{k^2}{4} = 0$

বা, $4x^2 + 2(k - 5)x + \frac{k^2}{4} = 0$

যখন এটি স্পর্শক হবে, তখন ডিসক্রিমিনেন্ট শূন্য হবে:

$[2(k - 5)]^2 - 4 \times 4 \times \frac{k^2}{4} = 0$

বা, $4(k - 5)^2 - 16 \times \frac{k^2}{4} = 0$

বা, $4(k^2 - 10k + 25) - 4k^2 = 0$

বা, $4k^2 - 40k + 100 - 4k^2 = 0$

বা, $- 40k + 100 = 0$

বা, $40k = 100$

বা, $k = \frac{100}{40} = \frac{5}{2}$

অতএব, $k = \frac{5}{2}$ হলে রেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে।

উত্তর: (গ) $\frac{5}{2}$