$\overline{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overline{\mathrm{B}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ এর অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।

সমাধান: $|\overline{\mathrm{A}}|=|\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}|$

$\begin{array}{l} =\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14} \\ |\bar{B}|=|2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+1^{2}} \\ =\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6} \text { এবং } \\ \bar{A} \cdot \bar{B}=(\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \\ =2-2+3=3=4+20-11=13 \end{array}$

ভেক্টর় দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $\theta$ হলে,

$\begin{array}{l} \cos \theta=\frac{\bar{A} \cdot \bar{B}}{|\bar{A}||\bar{B}|}=\frac{3}{\sqrt{14} \times \sqrt{6}}=\frac{3}{2 \sqrt{21}} \\ \therefore \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{3}{2 \sqrt{21}}\right) \end{array}$

$\therefore$ ভেক্টর দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $\cos ^{-1}\left(\frac{3}{2 \sqrt{21}}\right)$