1.
সচরাচর সংকেতমালায় প্রমাণ কর যে, v=u+ftv = u + ftv=u+ft ।
স্থিরাবস্থা হতে একটি ট্রেন A স্টেশন হতে 4 মিনিটে B স্টেশনে গিয়ে থামে । যদি উহা পথের প্রথম অংশ x সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ y সমমন্দনে চলে তবে প্রমাণ কর যে,
1x+1y=4 \frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=4 x1+y1=4 যখন S=2 \mathrm{S}=2 S=2
যদি দুইটি রেলগাড়ি A ও B এর বিপরীত দিক হতে u1 u_{1} u1 ও u2 u_{2} u2 গতিবেগে অগ্রসর হওয়ার সময় একে অপরকে দেখতে পায় তখন তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব x। সংঘর্ষ এড়ানোর জন্য রেলগাড়ি দুইটি সর্বোচ্চ মন্দন যথাক্রমে a1 a_{1} a1 ও a2 a_{2} a2 প্রয়োগ করে। তাহলে দেখাও যে, কোনো রকমে সংঘর্ষ এড়ানো সম্তব যদি u12a2+u22a1≤2a1a2x \mathrm{u}_{1}{ }^{2} \mathrm{a}_{2}+\mathrm{u}_{2}{ }^{2} \mathrm{a}_{1} \leq 2 \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2} xu12a2+u22a1≤2a1a2x হয়।
2.
100 N ও 70 N মানের দুইটি বলের লব্ধি কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করে। এদের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ 62° হলে বল দুইটির লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।
P কে (R + 3) পরিমাণে এবং Q কে (S + 2) পরিমাণে বৃদ্ধি করলেও লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়া করে। আবার P, Q এর পরিবর্তে যথাক্রমে Q, (R + 3) ক্রিয়া করলেও লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়া করে ।
প্রমাণ কর যে, R=S+(Q−R−3)2P−Q−1 \mathrm{R}=\mathrm{S}+\frac{(\mathrm{Q}-\mathrm{R}-3)^{2}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}-1 R=S+P−Q(Q−R−3)2−1
উদ্দীপকে উল্লিখিত বলদ্বয়ের সমতলে x দূরত্বের ব্যবধানে R মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল প্রয়োগ করা হলো। প্রমাণ কর যে, এদের লব্ধি xRP+Q \frac{\mathrm{xR}}{\mathrm{P}+\mathrm{Q}} P+QxR দূরত্বে সরে যাবে।
3. 16x2+25y2=400 16 x^{2}+25 y^{2}=400 16x2+25y2=400
এমন একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা (0,22) (0,2 \sqrt{2}) (0,22) ও(−3,0) (-3,0) (−3,0) বিন্দু দিয়ে যায়।
উৎকেন্দ্রিকতাসহ উদ্দীপকের কণিকটির শীর্ষদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, ফোকাস ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
চিত্র অংকন পূর্বক উদ্দীপকের কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বদ্বয় ও নিয়ামকদ্বয় এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
4. f(x)=(2−3x)15f\left(x\right)=\left(2-\frac{3}{x}\right)^{15}f(x)=(2−x3)15
n=4 n=4 n=4 এর জন্য প্যাসকেলের ত্রিভুজ আঁক।
f(x) f(x) f(x) এর বিস্তৃতিতে কততম পদ x x x-বর্জিত এবং পদটির মান নির্ণয় কর্র।
f(x) f(x) f(x) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ দুইটির পার্থক্য নির্ণয় কর যখন x=1 x=1 x=1.
5. দৃশ্যকল্প-১: sec−153+cot−1125+sin−11665 \sec ^{-1} \frac{5}{3}+\cot ^{-1} \frac{12}{5}+\sin ^{-1} \frac{16}{65} sec−135+cot−1512+sin−16516
দৃশ্যকল্প-২: 3sinθ=2+cosθ \sqrt{3} \sin \theta=2+\cos \theta 3sinθ=2+cosθ.
দেখাও যে, 2tan−1x=sin−12x1+x2 2 \tan ^{-1} x=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}} 2tan−1x=sin−11+x22x
দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-১ এর মান π2 \frac{\pi}{2} 2π.
দৃশ্যকল্প-২ এর সমাধান কর যখন −2π<θ<2π -2 \pi<\theta<2 \pi −2π<θ<2π. [বি.দ্র. দৃশ্যকল্প-১ এ cot−1115 \cot ^{-1} \frac{11}{5} cot−1511 এর পরিবর্তে cot−1125 \cot ^{-1} \frac{12}{5} cot−1512 হবে।]
