উচ্চতর গণিত ২য় পত্র দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

একটি বস্তুর উপর 2 মিটার/সেকেন্ড, 3 মিটার/সেকেন্ড এবং $2\sqrt{5}$ মিটার/সেকেন্ড বেগত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা রক্ষা করে। ক্ষুদ্রতম বেগ দুইটির অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এ u এর দিক বরাবর w এর লম্বাংশ 3v হলে, দেখাও যে, $\alpha=\frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{u}{6 v}}\right)$ এবং $w=\sqrt{9 v^{2}-u^{2}+6 u v.}$

দৃশ্যকল্প-২ হতে রেলগাড়ির সর্বোচ্চ বেগ, সমত্বরণ ও সমমন্দন নির্ণয় কর।

20 ms^-1 বেগে ঊর্ধ্বগামী কোনো বেলুন হতে পতিত এক টুকরা পাথর 15 সেকেন্ডে মাটিতে পতিত হয়। যখন পাথরের টুকরা পতিত হয়, তখন বেলুনের উচ্চতা কত?

উদ্দীপক-১ হতে শব্দের বেগ 327 মিটার/ সেকেন্ড হলে, কূপের গভীরতা নির্ণয় কর। (g = 9.81 মিটার/সেকেন্ড)

দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, দেওয়ালটির উচ্চতা h = 28.125 মিটার।

$\cos ^{2}\left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)-\sin ^{2}\left(\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এ $\mathrm{P}+\mathrm{Q}=\theta$ হলে প্রমাণ কর যে, $4 x^{2}-12 x y \cos \theta+9 y^{2}=36 \sin ^{2} \theta$.

দৃশ্যকল্প এ $(0,2 \pi)$ ব্যবধিতে, $f(\mathrm{x})+f(2 \mathrm{x})+f(3 \mathrm{x})=1+f\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-2 \mathrm{x}\right)$ সমীকরণটির সমাধান কর।

$x^{2}=8(1-y)$ পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{1}{3}$, উপকেন্দ্র $\mathrm{S}$ এবং নিয়ামক রেখা $\mathrm{MZM}^{\prime}$,

দৃশ্যকল্প-১ হতে P এর সঞ্চারপথটির সমীকরণ নির্ণয় কর যেখানে উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{1}{3}$, উপকেন্দ্র 5 এবং নিয়ামক রেখা MZM',

দৃশ্যকল্প-২ এ $\mathrm{S}$ ও $\mathrm{S}^{\prime}$ উপকেন্দ্র, কেন্দ্র হতে নিয়ামক দূরত্ 3 একক হলে, অধিবৃত্তটির সমীকরণ এবং অসীমটের সমীকরণ নির্ণয় কর।

$z=x+i y$ হলে $\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথটি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এ $f(\mathrm{x})=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর $\mathrm{n}$ হলে প্রমাণ কর যে, $l=2 \mathrm{~m} \pm \sqrt{4 \mathrm{~m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}$.

দৃশ্যকল্প-২ এ $\mathrm{g}(\mathrm{x})=0$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হলে, দেখাও যে, $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{r}}=\left(\frac{\mathrm{p}-\mathrm{q}}{\mathrm{r}-\mathrm{q}}\right)^{3}$ এবং $3 \mathrm{q}-\mathrm{p}-\mathrm{r}=\frac{\mathrm{q}^{3}}{\mathrm{pr}}$