উচ্চতর গণিত ২য় পত্র-হলি ক্রস কলেজ-২০২০-সৃজনশীল

$a, b, c \in R$ এবং ac = bc হলে, বাস্তব স্বীকার্য ব্যবহার করে, প্রমাণ কর যে, $\mathrm{a}=\mathrm{b}$.

দৃশ্যকল্প-১ : থেকে $|f(x)-5|<\frac{1}{2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\left.\left|x^{3}-4\right|<\frac{93}{8} \right\rvert\,$

দৃশ্যকল্প-২ : থেকে লেখচিত্রের সাহায্যে $Z=4 x+6 y$ উদ্দেশ্য ফাংশনের সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

দেখাও যে, $(-1+\sqrt{-3})^{8}+(-1-\sqrt{-3})^{8}=-256$.

$P(x)=0$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হয় তাহলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{r}^{3}+\mathrm{s}^{2}+3 \mathrm{rs}-\mathrm{s}=0$

$x^{2} P(x)-10 x+4=0$ সমীকরণের একটি মূল $1+i$ হলে অন্য মূলগুলি নির্ণয় কর যখন $\mathrm{r}=-5$ এবং $\mathrm{s}=-10$

প্রমাণ কর যে, $\sin \cos ^{-1} \tan \sec ^{-1} \frac{x}{y}=\frac{\sqrt{2 y^{2}-x^{2}}}{y}$

$\cos ^{-1} A+\cos ^{-1} B=\theta$ হলে, দেখাও যে, $\frac{x^{2}}{4}-\frac{x y}{3} \cos \theta+\frac{y^{2}}{9}=$ $\sin ^{2} \theta$

$2 f(\mathrm{y}) f(3 \mathrm{y})=1$ হলে, $0 \leq \mathrm{y} \leq 2 \pi$ ব্যবধিতে $\mathrm{y}$ এর মান নির্ণয় কর।

দেখাও যে, $x^{2}-8 y^{2}=2$ অধিবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $3 x= \pm 4$.

$p=16$ হলে প্রমাণ কর যে, (ii) নং সমীকরণটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ এবং যার উপকেন্দ্র, অনুরূপ নিয়ামকের মধ্যবর্তী দূরত্ব $\frac{16}{3}$ ।

(i) নং সমীকরণটির শীর্ষ $(-1,2)$ এবং এটি $(0,3)$ বিন্দু দিয়ে গেলে, a, b, c এর মান নির্ণয় কর।

C বিন্দুতে CA এবং CB বরাবর $p \cos A$ ও $\cos B$ বলদ্বয় ক্রিয়ারত (যেখানে $p$ একটি ধ্রবক) এবং p cos A বলের সহিত লব্ধি বলটি $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে দেখাও যে, $\theta=\frac{C+A-B}{2}$.

দৃশ্যকল্প-১ এর বলগুলো সাম্যবস্থায় থাকলে প্রমাণ কর যে,

$\mathrm{P}: \mathrm{Q}: \mathrm{R}=\cos \frac{\mathrm{A}}{2}: \cos \frac{\mathrm{B}}{2}: \cos \frac{\mathrm{C}}{2}$.

দৃশ্যকল্প-২ এর $\mathrm{P}$ ও Q বলকে $\mathrm{X}$ পরিমাণে বৃদ্ধি করা হনে, এদের লব্ধি R দুরত্বে সরে যায়, তবে দেখাও যে, $R=\frac{X}{\mathrm{O}-\mathrm{P}} \cdot \mathrm{AB} \quad$