1.
কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত a ও b বেগদ্বয়ের লব্ধি c এবং a এর দিক বরাবর c এর লম্বাংশের পরিমাণ b হলে দেখাও যে, c=b2−a2+2abc=\sqrt{b^{2}-a^{2}+2 a b}c=b2−a2+2ab.
উদ্দীপকের A বিন্দু হতে একটি গাড়ি AB বরাবর যাত্রা করে প্রথমে x সুষম ত্বরনে এবং পরে y সুষম মন্দনে চলে। যদি তা t সময়ে B বিন্দুতে গিয়ে থামে, তবে প্রমাণ কর যে, t22AB=1x+1y\frac{t^{2}}{2 \mathrm{AB}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}2ABt2=x1+y1.
উদ্দীপকের আলোকে প্রক্ষেপক দুটির ভ্রমণকাল t1t_{1}t1 ও t2t_{2}t2 হলে, প্রমাণ কর যে, t12−t22t12+t22=sin(α−β)sin(α+β)\frac{t_{1}{ }^{2}-t_{2}{ }^{2}}{t_{1}{ }^{2}+t_{2}{ }^{2}}=\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin (\alpha+\beta)}t12+t22t12−t22=sin(α+β)sin(α−β).
2.
f(x)=mx2+nx+lf(x)=m x^{2}+n x+lf(x)=mx2+nx+l
3x3−2x2+1=03 \mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}^{2}+1=03x3−2x2+1=0 সমীকরণের মৃলগুলো α,β,γ\alpha, \beta, \gammaα,β,γ হলে ∑α2\sum \alpha^{2}∑α2 এর মান নির্ণয় কর।
যদি f(x)=0f(x)=0f(x)=0 সমীকরণের মূল দুইটি ppp ও qqq হয়, তবে দেখাও যে, (mp+n)−2+(mq+n)−2=n2−2/mI2 m2(\mathrm{mp}+\mathrm{n})^{-2}+(\mathrm{mq}+\mathrm{n})^{-2}=\frac{\mathrm{n}^{2}-2 / \mathrm{m}}{\mathrm{I}^{2} \mathrm{~m}^{2}}(mp+n)−2+(mq+n)−2=I2 m2n2−2/m.
যদি f(y)=0f(y)=0f(y)=0 এবং f(1y)=0f\left(\frac{1}{y}\right)=0f(y1)=0 সমীকরণের একটি মূল সাধারণ হয়, তবে দেখাও যে, l+m=±nl+\mathrm{m}= \pm \mathrm{n}l+m=±n.
3.
f(x)=sin−1x,g(x)=cosxf(x)=\sin ^{-1} x, g(x)=\cos xf(x)=sin−1x,g(x)=cosx.
সমাধান কর : tan2θtanθ=1\tan 2 \theta \tan \theta=1tan2θtanθ=1.
দেখাও যে, f(2 g(π2−θ))+f(g(2θ))=π2f\left(\sqrt{2} \mathrm{~g}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)+f(\sqrt{\mathrm{g}(2 \theta)})=\frac{\pi}{2}f(2 g(2π−θ))+f(g(2θ))=2π.
সমাধান কর : g(x)+3 g′(x)=2\mathrm{g}(\mathrm{x})+\sqrt{3} \mathrm{~g}^{\prime}(\mathrm{x})=\sqrt{2}g(x)+3 g′(x)=2, যখন −π<x<π-\pi<\mathrm{x}<\pi−π<x<π.
4.
z1=−1−i3,z2=3−iz_{1}=-1-i \sqrt{3}, z_{2}=\sqrt{3}-iz1=−1−i3,z2=3−i.
z1\mathrm{z}_{1}z1 এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
দেখাও যে, Arg(z1z2)=Argz1−Argz2\operatorname{Arg}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\operatorname{Arg} z_{1}-\operatorname{Arg} z_{2}Arg(z2z1)=Argz1−Argz2.
প্রমাণ কর যে, (12zˉ1)n+(12z1)n=2\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}=2(21zˉ1)n+(21z1)n=2, যখন n\mathrm{n}n এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, -1 , যখন n\mathrm{n}n এর মান অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা।
5.
9x2−4y2=369 x^{2}-4 y^{2}=369x2−4y2=36 কনিকের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের সাহায্যে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের A ও A' কে উপকেন্দ্র ধরে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি নিয়ামকের সমীকরণ, 5x−36=05 x-36=05x−36=0. 8\quad 88
