$(-1,2)$ কে শীর্ষবিন্দু এবং $(5,8)$ কে উপকেন্দ্র ধরে অংকিত পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(5,8)$ ও শীর্ষবিন্দু $A(-1,2)$.মনে করি, নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$.

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুযায়ী, $\mathrm{ZS}$ এর মধ্যবিন্দু $A(-1,2)$.

$\begin{array}{l} \therefore \quad \frac{\alpha+5}{2}=-1 \Rightarrow \alpha+5=-2 \Rightarrow \alpha=-7 \\ \text { এবং } \frac{\beta+8}{2}=2 \Rightarrow \beta+8=4 \Rightarrow \beta=-4 \end{array}$

$\therefore$ নিয়ামরেখার পাদবিন্দু $Z(-7,-4)$.

$\therefore$ অক্ষরেখার ঢাল $=\frac{8-2}{5+1}=\frac{6}{6}=1$

$\therefore$ নিয়ামরেখার ঢাল $=-1$

$\therefore Z(-7,-4)$ বিন্দুগামী এবং -1 ঢালবিশিষ্ট

নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $y+4=-1(x+7)$

$\Rightarrow y+4=-x-7 \Rightarrow x+y+11=0$

$\therefore(5,8)$ উপকেন্দ্র ও $x+y+11=0$

নিয়ামকরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ,

$\begin{aligned} & (x-5)^{2}+(y-8)^{2}=\frac{(x+y+11)^{2}}{1^{2}+1^{2}} \\ \Rightarrow & 2\left(x^{2}-10 x+25+y^{2}-16 y+64\right) \\ \Rightarrow \quad & x^{2}+y^{2}+121+22 x+22 y+2 x y \\ \Rightarrow & 2 x^{2}-20 x+50+2 y^{2}-32 y+128 \\ = & x^{2}+y^{2}+121+22 x+22 y+2 x y \\ \Rightarrow & x^{2}+y^{2}-2 x y-42 x-54 y+57=0 \end{aligned}$