(a) y = 4x + 2 সরলরেখা y² = 12x পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে স্পর্শবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।

(b)

$\left ( \frac{x^{4}}{y^{3}} + \frac{y^{2}}{2 x} \right )^{10}$

এর বিস্তৃতিতে y মুক্ত পদ কত?

(a) $y=4 x+2 \Rightarrow 3 y-12 x-6=0 \Rightarrow 3 y-y^{2}-6=0\left[y^{2}=12 x\right] \Rightarrow y^{2}-3 y+6=0$

যেহেতু নিশ্চায়ক $\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}=9-4.1 .6=9-24=-15<0$

(b) $\left(\frac{y^{2}}{2 x}+\frac{x^{4}}{y^{3}}\right)^{10} ; t_{r+1}={ }^{10} C_{r}\left(\frac{y^{2}}{2 x}\right)^{10-r}\left(\frac{x^{4}}{y^{3}}\right)^{r}={ }^{10} C_{r} y^{20-2 r-3 r} x^{4 r-10+r}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-r}$

$\mathrm{y}$ মুক্ত পদ হলে, $20-2 \mathrm{r}-3 \mathrm{r}=0 \Rightarrow \mathrm{r}=4$

$\therefore \mathrm{t}_{5}={ }^{10} \mathrm{C}_{4} \mathrm{x}^{16-10+4} \frac{1}{2^{6}}=\frac{105}{32} \mathrm{x}^{10}$ [Ans.]