$F(x)=x+2\sin x$ হলে ,

$F(x)$ এর লঘুমান ও গুরুমান বের করো।

প্রথম অংশ: $F^{\prime}(x)=1+2 \cos x=0 \Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2} \Rightarrow \cos x=-\cos \frac{\pi}{3}=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)$

$\Rightarrow \cos \mathrm{x}=\cos \frac{2 \pi}{3} \therefore \mathrm{x}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{2 \pi}{3}[\mathrm{n} \in \mathbb{Z}]$

$n=0$ হলে, $x=\frac{2 \pi}{3},-\frac{2 \pi}{3}$ এবং $n=1$ হলে, $x=\frac{8 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}$ প্রদত্ত ব্যবধিতে $x$ এর গ্রহনযোগ্য মান $\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}$

$\begin{array}{l} \therefore \mathrm{F}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=-2 \sin \mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{F}^{\prime \prime}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-2 \sin \frac{2 \pi}{3}=-\sqrt{3} \Rightarrow \mathrm{F}^{\prime \prime}\left(\frac{4 \pi}{3}\right)=-2 \sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)=\sqrt{3} \\ \therefore \text { গুরুমান }=\mathrm{F}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{2 \pi}{3}+\sqrt{3} \text { এবং লঘুমান }=\mathrm{F}\left(\frac{4 \pi}{3}\right)=\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{3} \text { (Ans.) } \end{array}$