If the coefficients of second, third and fourth terms in the expansion of $( 1 + x ) ^ { n }$ are in A.P.then the value of $n$ is:

প্রদত্ত বিস্তৃতি:

$(1+x)^{n}$

দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ পদের সহগগুলি হলো:

$\begin{array}{c} \binom{n}{1}=n \\ \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} \\ \binom{n}{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \end{array}$

এই সহগগুলি সমান্তর প্রগতিতে (A.P.) থাকলে শর্ত:

$2 \times\binom{ n}{2}=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}$

মান বসিয়ে পাই:

$\begin{array}{c} 2 \times \frac{n(n-1)}{2}=n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \\ n(n-1)=n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \end{array}$

সমীকরণ সরলীকরণ:

$n^{2}-n=n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

$n^{2}-2 n=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

উভয় পক্ষকে $n$ দ্বারা ভাগ (যেহেতু $n \neq 0$ ):

$n-2=\frac{(n-1)(n-2)}{6}$

দুরি ক্ষেত্রে সমাধান:

1. $n-2=0 \Rightarrow n=2 \rightarrow$ অবৈধ (কেননা চতুর্থ পদ নেই)

2. $n-2 \neq 0$ :

$1=\frac{n-1}{6}$

$\begin{array}{c} 6=n-1 \\ n=7 \end{array}$