$\int e^{x}(\sin x+\cos x) d x=$ কত?

আমরা নিচের সমাকলনটি নির্ণয় করতে চাই:

$\int e^{x}(\sin x+\cos x) d x$

এই সমাকলনটি সমাধান করার জন্য, আমরা অংশায়নের (integration by parts) পদ্ধতি ব্যবহার করব। অংশায়নের সূত্র হল:

$\int u d v=u v-\int v d u$

এখানে, আমরা $u=e^{x}$ এবং $d v=(\sin x+\cos x) d x$ ধরে নিই। তাহলে:

$\begin{array}{c} d u=e^{x} d x \\ v=\int(\sin x+\cos x) d x=-\cos x+\sin x \end{array}$

এখন, অংশায়নের সূত্র প্রয়োগ করে:

$\int e^{x}(\sin x+\cos x) d x=e^{x}(-\cos x+\sin x)-\int(-\cos x+\sin x) e^{x} d x$

ডান পাশের সমাকলনটি সরনীকরণ করে:

$\int e^{x}(\sin x+\cos x) d x=e^{x}(-\cos x+\sin x)+\int e^{x} \cos x d x-\int e^{x} \sin x d x$

এখন, আমরা লক্ষ্য করি যে:

$\int e^{x} \cos x d x-\int e^{x} \sin x d x=\int e^{x}(\cos x-\sin x) d x$

এ্রই সমাকলনটি মূল সমাকলনের সাথে সস্পর্কিত। আমরা এটি সমাধান করতে পারি নিম্নলিখিতভাবে:

$\int e^{x}(\sin x+\cos x) d x=e^{x}(-\cos x+\sin x)+\int e^{x}(\cos x-\sin x) d x$

এখন, আমরা এই সমীকরণটি সমাধান করতে পারি। ধরা যাক:

$I=\int e^{x}(\sin x+\cos x) d x$

তাহলে:

$I=e^{x}(-\cos x+\sin x)+\int e^{x}(\cos x-\sin x) d x$

আমরা লক্ষ্য করি যে:

$\int e^{x}(\cos x-\sin x) d x=I-e^{x}(-\cos x+\sin x)$

এ্রই সমীকরণটি সমাধান করে:

$I=e^{x}(-\cos x+\sin x)+I-e^{x}(-\cos x+\sin x)$

এটি সরলীকরণ করে:

$I=I$

এই সমীকরণটি অমাদের কোনো নতুন তথ্য দেয় না। তাই, অমরা অন্য পদ্ধতি ব্যবহার করব। আমরা জনি যে:

$\frac{d}{d x}\left(e^{x} \sin x\right)=e^{x} \sin x+e^{x} \cos x=e^{x}(\sin x+\cos x)$

অতএব:

$\int e^{x}(\sin x+\cos x) d x=e^{x} \sin x+C$