$\sin ^{4} x+\cos ^{4} x$ -এর পর্যায় কত?

$\sin ^{4} x+\cos ^{4} x$-এর পর্যায় (period) নির্ণয় করতে হবে। পর্যায় হল ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যা $T$, যাতে নিম্নলিখিত শর্চ পূরণ হয়:

$\sin ^{4}(x+T)+\cos ^{4}(x+T)=\sin ^{4} x+\cos ^{4} x$

ধাপ 1: $\sin ^{4} x+\cos ^{4} x$ সরলীকরণ

প্রथমে $\sin ^{4} x+\cos ^{4} x$ কে সরলীকরণ করি। আমরা জনি:

$\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$

এবং:

$\sin ^{4} x+\cos ^{4} x=\left(\sin ^{2} x\right)^{2}+\left(\cos ^{2} x\right)^{2}$

এটি নিম্নলিখিতভাবে সরনীকরণ করা যায়:

$\sin ^{4} x+\cos ^{4} x=\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x$

যেহেতু $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$, তাই:

$\sin ^{4} x+\cos ^{4} x=1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x$

ধাপ 2: $\sin ^{2} x \cos ^{2} x$ সরলীকরণ

$\sin ^{2} x \cos ^{2} x$ কে সরনীকরণ করতে, আমরা নিল্নলিখিত ত্রিকোপমিতিক অভেদ ব্যবহার কর্রি:

$\sin 2 x=2 \sin x \cos x$

তাই:

$\sin ^{2} x \cos ^{2} x=\left(\frac{\sin 2 x}{2}\right)^{2}=\frac{\sin ^{2} 2 x}{4}$

এখন $\sin ^{4} x+\cos ^{4} x$ এর সমীকরণটি হবে:

$\sin ^{4} x+\cos ^{4} x=1-2 \cdot \frac{\sin ^{2} 2 x}{4}=1-\frac{\sin ^{2} 2 x}{2}$

ধাপ 3: পর্যায় নির্ণয়

এখন $\sin ^{4} x+\cos ^{4} x=1-\frac{\sin ^{2} 2 x}{2}$. आমরা জনি যে $\sin ^{2} 2 x$-এর পর্যায় হন $\frac{\pi}{2}$, काরণ:

$\sin ^{2}(2 x+\pi)=\sin ^{2} 2 x$

তাই $\sin ^{4} x+\cos ^{4} x$-এর পর্যায়ও $\frac{\pi}{2}$.