$\sqrt{5}$ কি সংখ্যা?

Solve:$2^{2}=4,(\sqrt{5})^{2}=5,3^{2}=9$

$\therefore 2<\sqrt{5}<3$

$\therefore \sqrt{5}$ পূর্ণ (স্বাভাবিক) সংখ্যা নয়।

$[\because$ 2 এবং 3 এর মধ্যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যা নেই।]

যদি সম্ভব হয় তবে মণে করি, $\sqrt{5}$ একটি মূলদ সংখ্যা অর্থাৎ মূলদ ভগ্নাংশ এবং $\sqrt{5}=\frac{p}{q}$; যেখানে $\mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{N}$ এবং $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ সহমৌলিক।

$[\sqrt{5}$ ধনাত্মক সংখ্যা বলে $p, q \in \mathbb{Z}$ কে $p, q \in \mathbb{N}$ লিখা যায় ]

যা, $5=\frac{p^{2}}{q^{2}}$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে।]

যা, $5 \mathrm{q}=\frac{p}{q} \cdot p$ [ উভয় পক্ষকে $\mathrm{q}(\mathrm{q} \neq 0)$ দ্বারা গুণ করে।]

স্পষ্টত 5 এবং $q$ স্বাভাবিক (পূর্ন) সংখ্যা বলে তাদের গুনফল $5 q$ পূর্ন সংখ্যা । কিন্তু $\frac{p}{q}$ ভগ্নাংশ এবং $\mathrm{p}$ পূর্ন সংখ্যা বলে তাদের গুণফল $\frac{p}{q}. p$ একটি ভগ্নাংশ,

অর্থাৎ পূর্ণ সংখ্যা নয় ; কেননা $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ সহমৌলিক। আর একটি পূর্ণ সংখ্যা একটি-প্রকৃত ভগ্নাংশের সমান হতে পারেনা।

$\therefore \quad 5 q \neq \frac{p}{q} \cdot p$

$\therefore \sqrt{5}$ এর মান $\frac{p}{q}$ আকারের কোন সংখ্যা হতে পারেনা

$\therefore \sqrt{5}$ একটি অমুলদ সংখ্যা।