$x^{3}-p x^{2}+q x-r=0$ সমীকরণের মুলগুলো সমান্তর শ্রেণীভুক্ত হবার শর্ত নির্ণয় কর।

মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণের মূলগুলো,

$\begin{aligned} & a-d, a, a+d \\ \therefore & a-d+a+a+d=-\frac{-p}{1}=\mathrm{p} \\ \Rightarrow & 3 a=\mathrm{p} \Rightarrow a=\frac{p}{3} \cdots \cdots \cdots(1) \\ & (a-d) a+a(a+d)+(a+d)(a-d)=\mathrm{q} \\ \Rightarrow & a^{2}-a d+a^{2}+a d+a^{2}-d^{2}=\mathrm{q} \\ \Rightarrow & 3 a^{2}-d^{2}=\mathrm{q} \cdots \cdots \cdots(2) \text { and } \\ & (a-d) a(a+d)=r \\ \Rightarrow & a\left(a^{2}-d^{2}\right)=r \cdots \cdots \cdots \cdots(3) \end{aligned}$

(3) নং সমীকরণে $a=\frac{p}{3}$ বসিয়ে পাই ,

$\begin{aligned} & \frac{p}{3}\left(\frac{p^{2}}{9}-d^{2}\right)=r \Rightarrow \frac{p^{2}}{9}-d^{2}=\frac{3 r}{p} \\ \Rightarrow & d^{2}=\frac{p^{2}}{9}-\frac{3 r}{p} \end{aligned}$

আবার, (2) নং সমীকরণে $d^{2}$ এবং $a^{2}$ এর মান বসিয়ে পাই, 3. $\frac{p^{2}}{9}-\frac{p^{2}}{9}+\frac{3 r}{p}=q$

$\Rightarrow 2 \frac{p^{2}}{9}+\frac{3 r}{p}=q \Rightarrow 2 p^{3}+27 r=9 p q$

$\therefore 2 p^{3}+27 r-9 p q=0$, ইহাই নির্ণেয় শর্ত।