x^4/(x^3+1)

এর আংশিক ভগ্নাংশ কোনটি ? 

$\frac{\mathrm{x}^{4}}{\mathrm{x}^{3}+1}=\frac{\mathrm{x}^{4}+\mathrm{x}-\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{3}+1}=\mathrm{x}-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{3}+1}=\mathrm{x}-\frac{\mathrm{x}}{(\mathrm{x}+1)\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1\right)}$

ধরি, $\frac{\mathrm{x}}{(\mathrm{x}+1)\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1\right)} \equiv \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}+1}+\frac{\mathrm{Bx}+\mathrm{C}}{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1} \Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{A}\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1\right)+(\mathrm{Bx}+\mathrm{C})(\mathrm{x}+1)$

$\Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{Ax}^{2}-\mathrm{Ax}+\mathrm{A}+\mathrm{Bx}^{2}+\mathrm{Cx}+\mathrm{Bx}+\mathrm{C}$

$\therefore$ সহগ সমীকৃত করে পাই, $\mathrm{A}+\mathrm{B}=0 ; \mathrm{A}=-\mathrm{B} ; \mathrm{A}+\mathrm{C}=0 \therefore \mathrm{A}=-\mathrm{C} \therefore \mathrm{B}=\mathrm{C}$ ও $-\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=1$

$\therefore-\mathrm{A}-\mathrm{A}-\mathrm{A}=1 \Rightarrow \mathrm{A}=-\frac{1}{3} \therefore \mathrm{B}=\mathrm{C}=\frac{1}{3}$

$\therefore \frac{\mathrm{x}}{(\mathrm{x}+1)\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1\right)}=-\frac{1}{3(\mathrm{x}+1)}+\frac{\mathrm{x}+1}{3\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1\right)} \therefore \frac{\mathrm{x}^{4}}{\mathrm{x}^{3}+1}=\mathrm{x}+\frac{1}{3(\mathrm{x}+1)}-\frac{\mathrm{x}+1}{3\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1\right)}$