$y+3 x+1=0$ রেখাটি $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ বৃত্তকে স্পর্শ করলে স্পর্শ বিন্দু হবে-

প্রদত্ত বৃত্ত:

$x^2 + y^2 = a^2$

রেখা:

$y + 3x + 1 = 0 \Rightarrow y = -3x - 1$

রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করলে, কেন্দ্র $(0,0)$ থেকে রেখার দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ $a$

কেন্দ্র থেকে রেখার দূরত্ব:

রেখার সমীকরণ: $3x + y + 1 = 0$

$d = \frac{|3(0) + 1(0) + 1|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

স্পর্শ করার শর্ত:

$a = \frac{1}{\sqrt{10}}$

স্পর্শবিন্দু নির্ণয়:

বৃত্ত: $x^2 + y^2 = \frac{1}{10}$

রেখা: $y = -3x - 1$

বৃত্তে বসিয়ে:

$x^2 + (-3x - 1)^2 = \frac{1}{10}$

$x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = \frac{1}{10}$

$10x^2 + 6x + 1 = \frac{1}{10}$

$10x^2 + 6x + 1 - \frac{1}{10} = 0$

$10x^2 + 6x + \frac{9}{10} = 0$

$100x^2 + 60x + 9 = 0$

$(10x + 3)^2 = 0$

$x = -\frac{3}{10}$

$y = -3\left(-\frac{3}{10}\right) - 1 = \frac{9}{10} - 1 = -\frac{1}{10}$

স্পর্শবিন্দু:

$\left(-\frac{3}{10}, -\frac{1}{10}\right)$