একজন ফুটবল খেলোয়াড় আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে 25m/s বেগে বল 80m দূরে দাঁড়িয়ে থাকা প্রতিপক্ষ দলের গোলরক্ষকের দিকে কিক করেন। গোলরক্ষক সঙ্গে সঙ্গে বলটি ধরার জন্য বলের দিকে 10m/s সমবেগে দৌড়ে যান। বলটি ভূমিতে পড়ার আগে গোলরক্ষক বলটি ধরতে পারবেন কিনা গাণিতিক বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।

[g=9.8 m/s²]

ফুটবলটি আনুভূমিকের সাথে $30^{\circ}$ কোণে $25 \text{ m/s}$ বেগে কিক করা হয়েছে।

আমরা জানি, প্রক্ষেপকের উড্ডয়ন কালের সূত্র হলো:

$T = \frac{2u \sin \theta}{g}$

এখানে,

$u = 25 \text{ m/s}$ (প্রাথমিক বেগ)

$\theta = 30^{\circ}$ (প্রক্ষেপণ কোণ)

$g = 9.8 \text{ m/s}^2$ (মাধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণ)

মানগুলো বসিয়ে পাই:

$T = \frac{2 \times 25 \times \sin(30^{\circ})}{9.8}$

$T = \frac{50 \times 0.5}{9.8}$

$T = \frac{25}{9.8}$

$T \approx 2.55 \text{ s}$

অর্থাৎ, ফুটবলটি ভূমিতে পড়তে প্রায় $2.55$ সেকেন্ড সময় নেবে।

গোলরক্ষক $10 \text{ m/s}$ সমবেগে বলের দিকে দৌড়ে যান। ফুটবলটি ভূমিতে পড়ার আগে গোলরক্ষক $2.55$ সেকেন্ড ধরে দৌড়াবেন।

গোলরক্ষকের অতিক্রান্ত দূরত্ব, $D_g = \text{বেগ} \times \text{সময়}$

$D_g = 10 \text{ m/s} \times 2.55 \text{ s}$

$D_g = 25.5 \text{ m}$

অর্থাৎ, ফুটবলটি ভূমিতে পড়ার আগে গোলরক্ষক $25.5$ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে পারবেন।

ফুটবলটির আনুভূমিক পাল্লার সূত্র হলো:

$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$

এখানে,

$u = 25 \text{ m/s}$

$\theta = 30^\circ$

$g = 9.8 \text{ m/s}^2$

মানগুলো বসিয়ে পাই:

$R = \frac{(25)^2 \times \sin(2 \times 30^\circ)}{9.8}$

$R = \frac{625 \times \sin(60^\circ)}{9.8}$

$R = \frac{625 \times 0.866}{9.8}$

$R = \frac{541.25}{9.8}$

$R \approx 55.23 \text{ m}$

অর্থাৎ, ফুটবলটি কিক করার স্থান থেকে প্রায় $55.23$ মিটার দূরে ভূমিতে পড়বে।

প্রতিপক্ষ দলের গোলরক্ষক কিক করার স্থান থেকে $80$ মিটার দূরে দাঁড়িয়ে ছিলেন।

ফুটবলটি ভূমিতে পড়ার সময় কিক করার স্থান থেকে দূরত্ব: $55.23$ m

গোলরক্ষক $80$ মিটার দূরে দাঁড়িয়ে ছিলেন এবং বলটি ধরার জন্য $25.5$ মিটার দৌঁড়েছেন। তাই ফুটবলটি যখন ভূমিতে পড়ে,

তখন গোলরক্ষকের অবস্থান কিক করার স্থান থেকে:

$80 \text{ m} - 25.5 \text{ m} = 54.5 \text{ m}$

যেহেতু ফুটবলটি $55.23$ মিটার দূরে ভূমিতে পড়েছে এবং গোলরক্ষক $54.5$ মিটার দূরে অবস্থান করছেন, সেহেতু

গোলরক্ষক বলটি ধরতে পারবেন না। বলটি গোলরক্ষকের থেকে প্রায় $55.23 - 54.5 = 0.73$ মিটার দূরে পড়বে।

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, গোলরক্ষক বলটি ভূমিতে পড়ার আগে ধরতে পারবেন না। বলটি তার থেকে প্রায় $0.73$

মিটার সামনে পড়বে।