একটি নলাকার আবদ্ধ টিনের তৈরী পাত্রের তরল পদার্থ ধারণ ক্ষমতা 1 litre (1000 cm³). পাত্রটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ কত হলে পাত্রটি তৈরী করতে নূন্যতম টিনের প্রয়ােজন হবে?

সমাধান: $\pi r^{2} h=1 \Rightarrow h=\frac{1}{\pi r^{2}}$

ক্ষেত্রফল $=2 \pi r(r+h)=2 \pi r^{2}+2 \pi r h=2 \pi r^{2}+2 \pi r \cdot \frac{1}{\pi r^{2}}=2 \pi r^{2}+\frac{2}{r}$

ক্ষেত্রফল এর 1st derivative $=4 \pi r-\frac{2}{r^{2}}=0 \Rightarrow 4 \pi r=\frac{2}{r^{2}} \Rightarrow r^{3}=\frac{1}{2 \pi}$ . . . . . . (i)

$\Rightarrow \pi \mathrm{r}^{2}=\frac{1}{2 \mathrm{r}} \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{~h}}=\frac{1}{2 \mathrm{r}} \quad \therefore \mathrm{h}=2 \mathrm{r}$ . . . . . . (ii)

(i) হতে, $\mathrm{r}=\sqrt[3]{\frac{1}{2 \pi}}=5.419 \mathrm{~cm}$

$\therefore \mathrm{h}=10.838 \mathrm{~cm}$ (Ans.)