একটি সেকেন্ড দোলক ঘড়ি পাহাড়ের পাদদেশে ঠিক সময় দেয় কিন্তু পাহাড়ের চূড়ায় উঠালে 2 ঘন্টায় 8 সেকেন্ড সময়ের পার্থক্য দেখায়। পৃথিবীর ব্যাস 12800 km হলে-

(i) পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় কর।
(ii) পাহাড়ের চূড়ায় সঠিকভাবে কাজ করতে হলে দোলকের দৈর্ঘ্য কত % পরিবর্তন করতে হবে?

(i) প্রশ্নমতে, পাহাড়ের উপর ঘড়ি 2 ঘন্টায় $8 \mathrm{~s}$ সেকেন্ড ধীরে চলে।

সুতরাং 24 ঘন্টায় ধীরে চলে $\frac{8 \times 24}{2}=96$ সেকেশ্ড।

এখন পাহাড়ের পাদদেশে দোলনকাল $T$ এবং পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল $T^{\prime}$ হুলে $\frac{T^{\prime}}{T}=\frac{86400}{86400-96}=\frac{900}{899}$

পাহাড়ের উচ্চতা $h$, পাদদেকে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$ এবং চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g^{\prime}$ হনে $\frac{g^{\prime}}{g}=\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2}$

আমরা জানি, $\frac{\mathrm{T}^{\prime}}{\mathrm{T}}=\sqrt{\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{g} \prime}}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{R}+\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\right)^{2}}=1+\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}} \Rightarrow \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{T}^{\prime}}{\mathrm{T}}-1$

$\Rightarrow \mathrm{h}=\mathrm{R} \times\left(\frac{\mathrm{T}^{\prime}}{\mathrm{T}}-1\right)=\frac{12800}{2} \times 10^{3} \times\left(\frac{900}{899}-1\right)=7119.02 \mathrm{~m} \text { (Ans.) }$

(ii) পাদদেশে দোলকের টৈর্ঘ্য $l$

পাহাড়ের চূড়ায় $l^{\prime}$ করনে $\mathrm{T}$ দোলনকাল অপরিবর্তিত থাকবে।

আমরা জানি, $\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}} \quad$ সুতরাং $\mathrm{L} \propto \mathrm{g}$

সুতরাং $\frac{\mathrm{l}^{\prime}}{\mathrm{l}}=\frac{\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}} \Rightarrow \frac{\mathrm{l}-\mathrm{l}^{\prime}}{\mathrm{l}}=1-\frac{\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}}=1-\frac{(899)^{2}}{(900)}$ [ (i) হতে $\frac{\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}}=\left(\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}^{\prime}}\right)^{2}=\left(\frac{899}{900}\right)^{2}$ ]

$=1-0.9977790123=2.220987 \times 10^{-3}=2.220987 \times 10^{-3} \times 100 \%=0.22209877 \%$