একধরনের দামী পাথরের নাম IRRADIATED AMETHYST

১ম ইংরেজি শব্দটি হতে প্রতিবার 4টি করে নিয়ে মোট কতগুলো শব্দ গঠন করা যায়? 

প্রশ্নটি শব্দটি "IRRADIATED" এর অক্ষর সমূহের থেকে 4টি অক্ষর নিয়ে কত গুলো শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে দেখা যাক, "IRRADIATED" শব্দটিতে মোট অক্ষরের সংখ্যা হচ্ছে 10 টি।

এখন, 10 অক্ষরের মধ্য থেকে 4 অক্ষর নিয়ে শব্দ গঠন করার সমস্যা এটি। এটি মূলত সমাবেশ বা কম্বিনেশন নির্ণয়ের সমস্যা, যেখানে পুনরাবৃত্তি নেই।

এজন্য আমরা কম্বিনেশন সূত্র প্রয়োগ করব:

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

এখানে, $n = 10$ এবং $r = 4$

তাহলে,

$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

তবে, এখানে অক্ষর "R" এবং "A" একাধিকবার রয়েছে, তাই অক্ষর গোলানোর অবস্থানের কারণে এর থেকে সম্ভাব্য অনন্য (unique) 4 অক্ষরের সমাবেশ ঘটনা গুনে নিতে হবে।

আসুন এখন "R" আর "A" অনুযায়ী সমাবেশের সংখ্যায়ন করি:

- "R" 3 বার এবং "A" 2 বার আছে: তাই গুনতি কৈলে শব্দের সংখ্যা গুন মাধ্যমে আপেক্ষিক সংখ্যায়ন (Permutation) কৃত হবে: - যখন "RRRA": $\frac{4!}{3!1!} = 4$ - যখন "RRRA": যদি ২টে "R", ২টে "A" মধ্যে জাগা গুন করতে হয়: $\frac{4!}{2!2!} = 6$

এভাবেই বিভিন্ন সংখ্যা এবং কম্বিনেশনে ভিন্ন ভিন্ন ফলাফল হবে। সবকিছু, গুনসংখ্যায় তাকে সমাবেশ সূত্র সঙ্গে মিলিয়ে এ সমস্ত গুন হলে:

$1096 \text { শব্দ গঠন করা যাবে}$