একাদশ শ্রেণির ক্লাশে শিক্ষক নিচের তিনটি ভেক্টর বোর্ডে লিখো শিক্ষার্থীদেরকে ভেক্টরের ওপর ধারণা দেয়ার চেষ্টা করছেন।

$\vec{A}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} ; \vec{B}=-\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} ; \vec{C}=5 \hat{i}+8 \hat{k}$ ভেক্টর তিনটি দেখে, একাদশ শ্রেণির একজন ছাত্র বললো, m=-1 এবং n = 1 হলে $\vec{D}=\vec{C}-m \vec{A}-n \vec{B}$ ভেক্টরটি $\vec{A} ও \vec{B}$ উভয়ের উপর লম্ব হবে। দ্বিতীয় একজন শিক্ষার্থী বললো, m এবং n এর মানের বিনিময়ের ফলেও একই শর্ত প্রযোজ্য হবে।

$\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}, \overline{\mathrm{d}}, \overline{\mathrm{e}}, \overline{\mathrm{f}}$ ছয়টি ভেক্টর এবং $\overline{\mathrm{a}}$ ও $\overline{\mathbf{d}}$ পরস্পর লম্ব। রাশিটির মান [a(b.c) × (e.f)d] $\times[\mathbf{a}-\mathbf{d}]$

$\vec{a}, \vec{b}$ ও $\vec{c}$ ভেক্টর তিনটির মান $3,4,5$ এর মধ্যে যেকোনো একটি অপর দুটির যোগফলের উপর লম্ব হয় তবে $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=$ ?

চিত্রে $\overrightarrow{\mathrm{P}}=6 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{Q}}=10 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}$

দুটি ভেক্টর  $\vec{a}$ ও $\vec{b}$ এর মান সমান যা 12.7 একক। তাদের দিক নিচের চিত্রানুসারে প্রদর্শিত। ভেক্টর দুটির লব্ধি $\vec{R}$ ।