যদি x² + px + q = 0 এবং x² + qx + p = 0 সমীকরণ দুইটির একটি সাধারন মূল থাকে, তাহলে দেখাও যে, তাদের অপর মূল দুইটি x ² + x + pq = 0 সমীকরণের মূল হবে।

$\begin{array}{l} x^{2}+p x+q=0….(i) \\ x^{2}+q x+p=0….(ii) \end{array}$

সাধারণ মূলটি $\alpha$ হলে-

ধরি, (i) ও (ii) এর অপর মূলদ্বয় $\beta$ ও $\delta$

$\therefore$ (i) নং থেকে $\alpha \beta=\mathrm{q} \quad \therefore \beta+\mathrm{q}[\because \alpha=1]$

$\therefore$ (ii) নং থেকে $\alpha \delta=\mathrm{p} \quad \therefore \delta=\mathrm{p}[\because \alpha=1]$

$\alpha^{2}+p \alpha+q=0$ ও $\alpha^{2}+q \alpha+p=0$

বজ্রগুণন হতে-

$\frac{\alpha^{2}}{\mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}}=\frac{\alpha}{\mathrm{q}-\mathrm{p}}=\frac{1}{\mathrm{q}-\mathrm{p}} \Rightarrow \frac{\alpha^{2}}{(\mathrm{p}+\mathrm{q})}=\frac{\alpha}{-1}=\frac{1}{-1}$

এখন, অপর সমীকরণ : $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+\mathrm{pq}=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}^{2}-(-1) \mathrm{x}+\mathrm{pq}=0 \Rightarrow \mathrm{x}^{2}-(\mathrm{p}+\mathrm{q}) \mathrm{x}+\mathrm{pq}=0$

$\therefore$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\mathrm{p}$ ও q ।

$\therefore \alpha=1$ ও $\alpha=-(\mathrm{p}+\mathrm{q}) \Rightarrow-(\mathrm{p}+\mathrm{q})=1$

$\therefore$ (i) নং ও (ii) নং এর অপর মূলদ্বয়

$\therefore \mathrm{p}+\mathrm{q}=-1$ ……….(iii)

$\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+\mathrm{pq}=0$ সমীকরণের মূল। [দেখানো হল]