$(1 + i)^8 + (1 -i)^8 =$

${ \left( 1+i \right) }^{ 8 }+{ \left( 1-i \right) }^{ 8 }$

$\Rightarrow { \left( 1+i \right) }^{ 8 }={ \left[ { { \left( 1+i \right) }^{ 2 } } \right] }^{ 4 }={ \left[ { 1+2i+{ i }^{ 2 } } \right] }^{ 4 }={ \left[ { 1+2i-1 } \right] }^{ 4 }$

$={ \left[ { { \left( 2i \right) }^{ 2 } } \right] }^{ 2 }$

$={ \left( -4 \right) }^{ 2 }$

$=16$

Similarely ${ \left( 1-i \right) }^{ 8 }=16$

$\therefore { \left( 1+i \right) }^{ 8 }+{ \left( 1-i \right) }^{ 8 }$

$=16+16$

$=32.$

Hence, the answer is $32.$