$(1+x)^{n}$ বিস্তৃতিতে তিনটি ক্রমিক পদের সহগের অনুপাত $1 : 7 : 42$ হলে, $n$ এর মান নির্নয় কর; যেখান $\mathbf{n} \in \mathbb{N}$.

Solve:

মনে করি, প্রদত্ত বিস্তৃতিতে $r$ তম, $(r+1)$ তম এবং $(r+2)$ তম ক্রমিক পদ তিনটির সহগের অনুপাত $1: 7: 42$$\begin{array}{l}\therefore \mathrm{T}_{\mathrm{r}} \text { এর সহগ : } \mathrm{T}_{\mathrm{r}+1} \text { এর সহগ =1:7} \\\Rightarrow \frac{\mathrm{T}_{\mathrm{r}+1} \text { এর সহগ }}{\mathrm{T}_{\mathrm{r}} \text { এর সহগ }}=7 \Rightarrow \frac{n-r+1}{r}=7 \\\Rightarrow 7 r=n-r+1 \Rightarrow 8 r=n+1 \Rightarrow r=\frac{n+1}{8}\end{array}$আবার, $T_{r+1}$ এর সহগ: $T_{r+2}$ এর সহগ =7 : 42$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{\mathrm{T}_{\mathrm{r}+2} \text { এর সহগ }}{\mathrm{T}_{\mathrm{r}+1} \text { এর সহগ }}=\frac{42}{7} \Rightarrow \frac{n-r}{r+1}=6 \\\Rightarrow 6 r+6=n-r \Rightarrow 7 r=n-6 \Rightarrow r=\frac{n-6}{7} \\\therefore \quad \frac{n+1}{8}=\frac{n-6}{7} \Rightarrow 8 n-48=7 n+7 \\\therefore n=55 \text { (Ans.) }\end{array}$