$\sin ^{-1} p+\sin ^{-1} q=\frac{\pi}{2}$ হলে $p \sqrt{1-q^{2}}+q \sqrt{1-p^{2}}$ এর মান কত?

প্রদত্ত সমীকরণ:

$\sin^{-1} p + \sin^{-1} q = \frac{\pi}{2}$

এবং নির্ণয় করতে হবে:

$p\sqrt{1 - q^2} + q\sqrt{1 - p^2}$

সমাধান:

ধাপ 1: সমীকরণগণের সরলীকরণ

প্রদত্ত সমীকরণটি থেকে আমরা পাই:

$\sin^{-1} p + \sin^{-1} q = \frac{\pi}{2}$

একে নিম্নরূপে লিখতে পারি:

$\sin^{-1} p = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} q$

এখন, উভয় পক্ষে সাইন নিয়ে পাই:

$p = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} q \right)$

সাইনের কো-ফাংশন আইন ব্যবহার করে:

$\sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta$

সুতরাং:

$p = \cos(\sin^{-1} q)$

আমরা জানি:

$\cos(\sin^{-1} q) = \sqrt{1 - q^2}$

অতএব:

$p = \sqrt{1 - q^2}$

একইভাবে, $q = \sqrt{1 - p^2}$ প্রমাণ করা যায়।

এখন, নির্ণেয় রাশি:

$p\sqrt{1-q^2}+q\sqrt{1-p^2}$

ধাপ ১ থেকে আমরা পেয়েছি:

$p=\sqrt{1-q^2}$ এবং $q=\sqrt{1-p^2}$

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

$p \cdot p + q \cdot q = p^2+q^2$

আবার, ধাপ ১ থেকে:

$p^2=1-q^2$ এবং $q^2=1-p^2$

এদের যোগ করলে পাই:

$p^2+q^2=(1-q^2)+(1-p^2)=2-(p^2+q^2)$

এখন, $p^2+q^2$ কে $S$ ধরে সমীকরণটি হলো:

$S=2-S \Rightarrow 2S=2 \Rightarrow S=1$

অর্থাৎ:

$p^2+q^2=1$

সুতরাং, নির্ণেয় রাশির মান:

$p\sqrt{1-q^2}+q\sqrt{1-p^2}=p^2+q^2=1$