যদি $x^{2}+b x+a c=0$ এবং $x^{2}+c x+a b=0$ সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল থাকে, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

Solve: মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি $\alpha$ ।তাহলে, $\alpha^{2}+b \alpha+a c=0$ ও $\alpha^{2}+c \alpha+a b=0$

বজ্ৰগুণন প্রণালীর সাহায্যে আমরা পাই ,

$\begin{aligned} & \frac{\alpha^{2}}{a b^{2}-a c^{2}}=\frac{\alpha}{a c-a b}=\frac{1}{c-b} \\ \therefore & (a c-a b)^{2}=\left(a b^{2}-a c^{2}\right)(c-b) \\ \Rightarrow & a^{2}(c-b)^{2}-a\left(b^{2}-c^{2}\right)(c-b)=0 \\ \Rightarrow & a^{2}(b-c)^{2}+a(b-c)^{2}(b+c)=0 \\ \Rightarrow & a(b-c)^{2}(a+b+c)=0 \end{aligned}$

$\mathrm{a}=0$ হলে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোন সাধারণমূল থাকবে না এবং $b=c$ হলে উভয় মূলই সাধারণ হয়ে যাবে।

$\therefore \quad a+b+c=0$

২য় এবং শেষ অনুপাত হতে আমরা পাই, $\alpha=\frac{a(c-b)}{c-b}=\mathrm{a}$, ইহাই নির্ণেয় শর্ত । এখন, $x^{2}+b x+a c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল $\mathrm{ac}$.

$\therefore$ অপর মূল $\mathrm{c}$

আবার, $x^{2}+c x+a b=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল $a b$

$\therefore$ অপর মূলটি $b$

$\therefore \mathrm{b}$ এবং $\mathrm{c}$ মূল দুইটি দ্বারা গঠিত সমীকরণ,

$\begin{aligned} & x^{2}-(b+c) x+b c=0 \\ \Rightarrow & x^{2}-(-a) x+b c=0[\because a+b+c=0] \\ \Rightarrow & x^{2}+a x+b c=0 \\ \end{aligned}$

$\therefore$ অপর মূল দুইটি দ্বারা $x^{2}+a x+b c=0$ সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।