If $\theta = \dfrac{\pi }{12}$ and

A=$\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ then det $(A^{6})$ =

$\displaystyle A=\begin{bmatrix} \cos { \theta } & \sin { \theta } \\ \sin { \theta } & \cos { \theta } \end{bmatrix}$

$\displaystyle { A }^{ 2 }=A\times A=\begin{bmatrix} \cos { \theta } & \sin { \theta } \\ \sin { \theta } & \cos { \theta } \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} \cos { \theta } & \sin { \theta } \\ \sin { \theta } & \cos { \theta } \end{bmatrix}$

$\displaystyle =\begin{bmatrix} \cos ^{ 2 }{ \theta } \sin ^{ 2 }{ \theta } & \cos { \theta } \sin { \theta } +\sin { \theta } \cos { \theta } \\ \sin { \theta } \cos { \theta } +\sin { \theta } \cos { \theta } & \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } \end{bmatrix}$

$\displaystyle =\begin{bmatrix} 1 & \sin ^{ 2 }{ \theta } \\ \sin ^{ 2 }{ \theta } & 1 \end{bmatrix}$

As $\displaystyle \theta =\frac { \pi }{ 12 }$

$\displaystyle \therefore { A }^{ 2 }=\begin{bmatrix} 1 & \sin { \left( \frac { 2\pi }{ 12 } \right) } \\ \sin { \left( \frac { 2\pi }{ 12 } \right) } & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & \sin { \frac { \pi }{ 6 } } \\ \sin { \frac { \pi }{ 6 } } & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 1 \end{bmatrix}$

$\displaystyle \therefore { A }^{ 4 }={ A }^{ 2 }\times { A }^{ 2 }=\begin{bmatrix} 1 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+\frac { 1 }{ 4 } & \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 4 } +1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 5 }{ 4 } & +1 \\ 1 & \frac { 5 }{ 4 } \end{bmatrix}$

Hence $\displaystyle { A }^{ 6 }={ A }^{ 4 }\times { A }^{ 2 }=\begin{bmatrix} \frac { 5 }{ 4 } & 1 \\ 1 & \frac { 5 }{ 4 } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 1 \end{bmatrix}$

$\displaystyle =\begin{bmatrix} \frac { 5 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } & \frac { 5 }{ 8 } +1 \\ 1+\frac { 5 }{ 8 } & \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 5 }{ 4 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 7 }{ 4 } & \frac { 13 }{ 8 } \\ \frac { 13 }{ 8 } & \frac { 7 }{ 4 } \end{bmatrix}$

$\displaystyle =\cfrac { 7 }{ 4 } \times \cfrac { 7 }{ 4 } -\cfrac { 13 }{ 8 } \times \cfrac { 13 }{ 8 } =\cfrac { 27 }{ 64 }$