$x^{3}-8=0$ সমীকরণের জটিল মুল $z_{1}$ and $z_{2}$ নিচের কোনটি সঠিক ?

Solve:

$\mathrm{x}^{3}-8=0 \Rightarrow \mathrm{x}^{3}-2^{3}=0$

$\begin{aligned} \Rightarrow & (x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)=0 \\ & x-2=0 \text { NOw} x=2, \text { is real } \\ & x^{2}+2 x+4=0 \text { if } \\ & x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4.1 .4}}{2 \cdot 1}=\frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} \\ & =\frac{-2 \pm 2 \sqrt{3 i^{2}}}{2}=-1 \pm \sqrt{3} i \end{aligned}$

ইহা সমীকরণের জটিল মুল

$\begin{aligned} & z_{1}=-1+\sqrt{3} i, z_{2}=-1-\sqrt{3} i \\ & z_{1} z_{2}=(-1+\sqrt{3} i)(-1-\sqrt{3} i) \\ & =(-1)^{2}-(\sqrt{3} i)^{2} \\ & =1-3 i^{2}=1+3=4+0 i \\ \therefore & \arg \cdot\left(z_{1} z_{2}\right)=\tan ^{-1} \frac{0}{4}=\tan ^{-1} 0=0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} & \arg \cdot\left(z_{1}\right)=\tan ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{-1}=\pi-\tan ^{-1} \sqrt{3} \\ & \arg \cdot\left(z_{2}\right)=\tan ^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{-1}=-\pi+\tan ^{-1} \sqrt{3} \\ \therefore & \arg \left(z_{1}\right)+\arg \cdot\left(z_{2}\right)=0 \\ \therefore & \arg \left(z_{1} z_{2}\right)=\arg \left(z_{1}\right)+\arg \left(z_{2}\right) \end{aligned}$

শর্টকাট: এটি জটিল সংখ্যার একটি ধর্ম, অর্থাৎ সূত্র হিসেবেও ব্যবহার করা যায়।