$\mathrm{n}$ এর মান কত হলে, $(1+x)^{\mathrm{n}}$ এর বিস্তৃতিতে $x, x^{2}$ এবং $x^{3}$ এর সহগগুলো একটি সমান্তর প্রগমন ভুক্ত হবে?

Solve:

$(1+x)^{n}=1+{ }^{n} C_{1} x+{ }^{n} C_{2} x^{2}+{ }^{n} C_{3} x^{3}+\ldots+x^{n}$

$\therefore$ প্রদত্ত বিস্তৃতিতে $\mathrm{x}, \mathrm{x}^{2}$ এবং $\mathrm{x}^{3}$ এর সহগ যথাক্রমে ${ }^{n} C_{1},{ }^{n} C_{2}$ এবং ${ }^{n} C_{3}$প্রশ্নমতে, ${ }^{n} C_{1}+{ }^{n} C_{3}=2{ }^{n} C_{2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{{ }^{n} C_{1}}{{ }^{n} C_{2}}+\frac{{ }^{n} C_{3}}{{ }^{n} C_{2}}=2 \quad\left[{ }^{n} C_{2} \text { দ্বারা ভাগ করে। }\right] \\\Rightarrow \frac{2}{n-2+1}+\frac{n-3+1}{3}=2\left[\because \frac{{ }^{n} C_{1}}{{ }^{n} C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{2}{n-1}+\frac{n-2}{3}=2 \Rightarrow \frac{6+n^{2}-3 n+2}{3(n-1)}=2 \\\Rightarrow n^{2}-3 n+8=6 n-6 \\\Rightarrow n^{2}-9 n+14=0 \\\Rightarrow n^{2}-7 n-2 n+14=0 \\\Rightarrow n(n-7)-2(n-7)=0 \\\Rightarrow(n-2)(n-7)=0 \quad \therefore n=2,7\end{array}$

কিন্তু $n \neq 2$, কারণ যদি $n=2$ হয়, তবে প্রদত্ত বিস্তৃতিতে $\mathrm{x}^{3}$ সম্বলিত কোন পদ থাকবে না।$\therefore \mathrm{n}=7 \text { (Ans.) }$